Ни пуха, ни пера!

「Little Busters!(リトルバスターズ!)」、「クドわふたー」の元ネタ探し・用語まとめ、および考察

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これに答えられるなら、
こんな馬鹿な投稿コーナーになど参加していない。

棗恭介
以下は、棗恭介著「棗恭介の大喜利ミッションコンプリートブック」(Amazon)274ページに掲載された

xy平面上の点P1=(0,10)を中心とし半径が1の円周C1と、P2=(0,0)を中心とし半径が2の円周C2を与える。xy平面上の3点Q,R,Sを頂点とし、角∠QRSが直角になるような直角二等辺三角形△QRSに関して、点Qが円周C1を動き、点Rが円周C2を動くとき、第3の頂点Sが動いた軌跡を求めよ

に対する解答である [1]


多分、複素平面とみなすと簡単だろう。
Q,R,Sを表す複素数をそれぞれw1,w2,w3とする。
△QRSに関する条件

角∠QRSが直角になるような直角二等辺三角形△QRS

線分RQを、Rを中心として±90度回転させると線分RSに重なる

と言い換えられる [2],[3]。 よって、この3つの複素数には

1. w3-w2= ±i(w1-w2)

なる関係がある。更に、点Q,Rに関する条件から

2. |w1-10i|=1
3. |w2|=2

である。1.から

w3-w2∓i(10i-w2)=±i(w1-10i)

なので、2.と併せて

|w3-w2∓i(10i-w2)|=1

を得る。
これはw3がw2±i(10i-w2)を中心とする半径1の円周上の点であることを示している。
また、この点はw1の中心10iをw2の周りに±90度回転させた点である [4]
これで、w2を固定したとき、w3は点w2±i(10i-w2)を中心とする半径1の円周を描くことがわかった [5]

中心z=w2±i(10i-w2)の軌跡を調べる。整理すると

(-1±i)w2=∓10-z

となる。これと3.から、zが点±10とする半径2√2の円周を描くことがわかる。

以上により、点Sは、点(±10,0)を中心とする半径2√2+1の円(円周含む)から半径2√2-1の同心円(円周含まず)を除いた図形を描く。


二等辺三角形を点の回転と結び付けられるかどうかがこの問題のポイントだろう。
最終的な図形はすぐわかるので、後はその過程を文章化すれば良い。



[1]^ ここで第3の頂点云々でなく、突如「第3の男の次の行動を予測せよ」とかだったら危なかった(腹筋が)。

[2]^ 指定された条件からは△QRSが一意には定まらないことに注意。点Sが線分RQの上側に位置するか下側に位置するかの不定性が残されている [i]

[i]^ この上側云々は厳密でない。上下の概念は何らかの位置エネルギーが与えられた場において定義されるものだからだ。ここではy軸の正の方向を上と呼んでいる。日常生活においては重力場がこの役割を果たしており、石が落ちる方向を下と呼んでいる。従って「石は何故下に落ちるのか?」は文のみを解釈すれば無意味な問いである。

[3]^ もちろんこれは厳密な記述ではない。厳密には「90度回転させるか-90度回転させれば」だろう。というのも「△QRS」と述べた瞬間に我々はある一つの三角形を想定するからだ。ある一つの三角形に対し、±90度回転させたどちらの場合でも対応する辺が存在するようなことはない。

[4]^ 要は円周C1を、点w2を中心として±90度回転させた円周を表している。これは点w2を固定して考えれば自明の結果である。

[5]^ 実はわかっていない。わかったのは、点w3が当該円周上に存在するということである。この円周上のどの点もw3によって表現されるということを示さなければならない。これには例えば極形式表示が有用だろう。

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テーマ:リトルバスターズ - ジャンル:ゲーム

  1. 2010/12/25(土) 13:44:42|
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